Na zkoušku je 90 minut.
Definujte pojem lineární zobrazení (1 bod).
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení (7 bodů).Buď
A = (1 2 1) B = (1 3 2)
(2 4 2) (2 4 -1)
(1 2 1) (-1 1 8 )
(to jsou matice, kdyby to někdo nepoznal :D)
a) Najděte nenulový vektor x náleží Ker(A) průnik S(B) (3 body).
b) Rozhodněte zda Ker(A) + S(B) = R^3 (3 body).Buď
B2[f]B1 =
(1 2 3)
(3 -1 3)
(-2 10 6)
matice linárního zobrazení f: R^3 -> R^3 vůči bázím B1, B2, přičemž
B1 se skládá z (1, -1, -1)^T, (1,1,-1)^T, (0,1,1)^T,
B2 se skládá z (2,1,2)^T, (-4,2,-2)^T, (1,-1,-1)^T.
Najděte bázi obrazu f(R^3) a rozšiřte ji na bázi R^3.
(6 bodů)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (po 2 bodech)
(a) Je-li soustava Ax = b řešitelná a soustava Ax = c také, potom je soustava Ax = b + c rovněž řešitelná.
(b) Nechť matice Q náleží R^mn převádí A náleží R^mn do redukovaného odstupňovaného tvaru, tj. QA = RREF(A). Pak matice Q je určena jednoznačně.
(c) Pokud A*A^T je regulární, pak řádky matice A jsou lineárně nezávislé.
(d) Buďte f: U->V a g: V->W lineární zobrazení. Je-li g o f prosté, potom i f je prosté.
No nebylo to zrovna dvakrát triviální, tomu odpovídaly i známky :-) Z asi dvaceti lidí jedna dvojka, dvě trojky, dvě pětky a zbytek čtyřky :-) Pokud nemáte 5 (neopravitelná 4), tak si to můžete pak na ústní části opravit o známku. Ústní část je celkem v pohodě, dostanete na vylosování papírek buď s nějakým důkazem nebo pojmem, máte přibližně 10-15 minut na přípravu a pak předvedete, co umíte :-)